РЕШУ ЦТ — математика

Варианты заданий

1.  Задание № 1055 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.10\. Рациональные неравенства, 3\.16\. Неравенства указанных типов, содержащие модуль

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

Неравенства с модулем

Найдите произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства $дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс |24 минус x| конец дроби больше |24 минус x|.$

Решение. Введем замену $t=|24 минус x|, t больше или равно 0.$ Имеем:

$дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше t равносильно дробь: числитель: 16 минус t левая круглая скобка 6 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 16 минус 6t минус t в квадрате , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0 равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$ $дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше t равносильно дробь: числитель: 16 минус t левая круглая скобка 6 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 16 минус 6t минус t в квадрате , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$ $дробь: числитель: 16, знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше t равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 16 минус t левая круглая скобка 6 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 16 минус 6t минус t в квадрате , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: 6 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$

Используя метод интервалов, решим неравенство:

Возвращаясь к замене, имеем: $0\leqslant|24 минус x| меньше 2 равносильно минус 2 меньше 24 минус x меньше 2 равносильно 22 меньше x меньше 26.$ Таким образом, наибольшее целое решение неравенства  — 25. Количество целых решений неравенства 3 (x = 23, 24, 25). Произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства 25 · 3 = 75.

Ответ: 75.

Ответ: 75

1055

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Классификатор алгебры: 3\.10\. Рациональные неравенства, 3\.16\. Неравенства указанных типов, содержащие модуль

Методы алгебры: Замена переменной, Метод интервалов

2.  Задание № 1085 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Неравенства с модулем

Найдите произведение наименьшего целого решения на количество целых решений неравенства $дробь: числитель: 32, знаменатель: 4 плюс |20 минус x| конец дроби больше |20 минус x|.$

Решение. Введем замену $t=|20 минус x|, t больше или равно 0.$ Имеем:

$дробь: числитель: 32, знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше t равносильно дробь: числитель: 32 минус t левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 32 минус 4t минус t в квадрате , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0 равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$ $дробь: числитель: 32, знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше t равносильно дробь: числитель: 32 минус t левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 32 минус 4t минус t в квадрате , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$ $дробь: числитель: 32, знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше t равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 32 минус t левая круглая скобка 4 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 32 минус 4t минус t в квадрате , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: 4 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$

Используя метод интервалов, решим неравенство:

Возвращаясь к замене, имеем: $0\leqslant|20 минус x| меньше 4 равносильно минус 4 меньше 20 минус x меньше 4 равносильно 16 меньше x меньше 24.$ Таким образом, наименьшее целое решение неравенства  — 17. Количество целых решений неравенства 7 (x = 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23). Произведение наименьшего целого решения на количество целых решений неравенства 17 · 7 = 119.

Ответ: 119.

Ответ: 119

1085

119

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

3.  Задание № 1115 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Неравенства с модулем

Найдите произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства $дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 плюс |16 минус x| конец дроби больше |16 минус x|.$

Решение. Введем замену $t=|16 минус x|, t больше или равно 0.$ Имеем:

$дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше t равносильно дробь: числитель: 24 минус t левая круглая скобка 5 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 24 минус 5t минус t в квадрате , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0 равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$ $дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше t равносильно дробь: числитель: 24 минус t левая круглая скобка 5 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 24 минус 5t минус t в квадрате , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$ $дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше t равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 24 минус t левая круглая скобка 5 плюс t правая круглая скобка , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 24 минус 5t минус t в квадрате , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0 равносильно$
$равносильно минус дробь: числитель: левая круглая скобка t плюс 8 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: 5 плюс t конец дроби больше 0, t\geqslant0.$

Используя метод интервалов, решим неравенство:

Возвращаясь к замене, имеем: $0\leqslant|16 минус x| меньше 3 равносильно минус 3 меньше 16 минус x меньше 3 равносильно 13 меньше x меньше 19.$ Таким образом, наибольшее целое решение неравенства  — 18. Количество целых решений неравенства 5 (x = 14, 15, 16, 17, 18). Произведение наибольшего целого решения на количество целых решений неравенства 18 · 5 = 90.

Ответ: 90.

Ответ: 90

1115

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2017

Сложность: IV

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1055	75
2	1085	119
3	1115	90